Vad är bayesiansk konfirmationsteori?

Om du är intresserad av vetenskapsfilosofi kan du ibland tvingas välja mellan två olika lag: Popper eller Kuhn. Om du fortfarande tror att det är de lagen som gäller, är det dags att uppdatera dina kunskaper, för ett nytt lag har äntrat scenen, och det laget tycks leda. Laget heter Bayes.

Bayesiansk konfirmationsteori (BKT) är alltså en vetenskapsfilosofisk teori som har tre grundläggande element.

1. BKT antar att vi, a priori, tillskriver subjektiva sannolikheter till olika konkurrerande hypoteser. Dessa subjektiva sannolikheter representeras, precis som “vanlig” sannolikhet som ett nummer mellan noll och ett. Numret anger våra förväntningar att en hypotes kommer att visa sig vara sann. Ett innebär absolut säkerhet att hypotesen är sann. Till exempel: Jag tillskriver hypotesen: “Socialdemokraterna kommer att bilda en regering efter nästa val” en subjektiv sannolikhet på 0,6. Vi kan skriva detta på följande sätt, där “P” betyder “sannolikheten” och “H” betyder “hypotesen”. P(H) = 0,6. Det här betyder alltså: “sannolikheten att H är sann är 0,6”. Där tidigare vetenskapsfilosofiska teorier har en binär approach till hypoteser (sann/falsk) har alltså BKT en probabilistisk (sannolikhetsbaserad) approach.

2. BKT antar att subjektiva sannolikheter följer samma principer som vanliga sannolikheter.

3. BKT antar att vi kan lära oss från evidens genom något som kallas för “den bayesianska konditionaliseringsregeln”, eller Bayes sats. Denna regel visar på ett kvantitativt exakt sätt hur personen ska uppdatera sina subjektiva sannolikheter i ljuset av ny evidens.

Nu vill ni säkert att jag ska introducera denna sats, men låt mig förklara intuitionen bakom satsen med ord först, och låt oss titta på matten sen.

Vi börjar med ett tankeexperiment. Anta att du har en burk med spelkulor. I burken finns bara två kulor. Du har två hypoteser om kulornas färg.

H1: Båda kulorna svarta

H2: En kula är vit, och den andra är svart.

Du är genuint osäker av vilken av dessa som är sann. Så vi antar att din subjektiva sannolikhet är P(H1) = 0,5 och P(H2)= 0,5.

Nu sticker du ned handen i burken och tar upp en kula. Den är svart. I ljuset av denna evidens, hur bör du förändra din subjektiva sannolikhet?

I en klassisk popperiansk uppfattning så kan inte detta ändra din uppfattning alls. Ingen hypotes har blivit falsifierad. Båda hypoteserna gäller.

Men Bayes sats säger att det är dubbelt så sannolikt att H1 är sann än att H2 är det! Hur är detta möjligt?

Jo, så här: Om H1 är sann, är P(svart kula) = 1. Om H2 är sann så är P(svart kula) = 0,5. Sannolikheten att få en svart kula är alltså dubbelt så stor givet att H1 är sann. Man kan också uttrycka det här på följande sätt. Givet att H1 är sann, så är det mindre förvånande att vi fick en svart kula än om H2 hade varit sann. Alltså borde den svarta kulan få oss att tro att H1 är mer sannolik än H2. Men hur mycket mer sannolik?

Tänk så här: Det finns två möjligheter: svart/svart och svart/vit. Sammantaget finns fyra möjliga kulor som du hade kunnat plocka upp. Av de är tre svarta och en är vit. Av de tre möjliga svarta kulor som du hade kunnat plocka upp var en av dem i H2 och två av dem i H1. En tredjedel av alla möjliga svarta kulor är alltså associerade med H2. Två tredjedelar är associerade med H1.

Den bayesianska konditionalisersingsregeln säger oss således att efter att ha plockat upp en svart kula, så bör vår subjektiva sannolikhetsfördelning vara: P(H1) = ⅔ och P(H2) = ⅓.

Nu är det dags för lite matte!

Bayes sats säger följande: P(AIB) = P(BIA) * P(A) / P(B)

Det här betyder: Sannolikheten att A givet B är lika med sannolikheten att B givet A gånger sannolikheten att A, delat med sannolikheten att B. Det låter krångligt, men oroa dig inte. Jag ska förklara.

A är din hypotes. B är evidensen. Bayes sats berättar för oss hur sannolik en viss hypotes är, givet en viss evidens. Mer specifikt, så säger den att vi bör multiplicera sannolikheten för evidensen givet hypotesen med den initiala sannolikheten för hypotesen. Det innebär att ju mer sannolik en viss prediktion är givet hypotesen, desto mer bör den evidensen stödja hypotesen.

Dessutom bör vi dividera detta med P(B). Vi räknar ut P(B) genom att multiplicera sannolikheten för B givet A med sannolikheten för A och adderar sannolikheten för icke-A, multiplicerat med sannolikheten för B givet icke-A. Detta är för att vi vill inte bara veta hur sannolik B är givet A. Vi vill också veta hur sannolik B är givet icke-A.

P(A|B) = P(B|A) * P(A) /P(B) =

P(B|A) * P(A) / P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A)

Låt mig förklara detta med ytterligare tankeexperiment:

Du går till fikarummet för att hämta kaffe. Det finns två kannor. En av dem innehåller kaffe, den andra te. Du vill veta vad kanna 1 innehåller. Din initiala bedömning är att sannolikheten att kanna 1 innehåller kaffe är 0,5. Vi uttrycker detta som P(kaffe) = 0,5. Man du ser en brun fläck vid kannan. Du råkar veta att 75% av alla kannor med kaffe i har den här typen av fläckar. Vi uttrycker detta som P(brun fläck|kaffe)= 0,75 Men du vet också att 15% av tekannorna också kan ha såna här fläckar. Det uttrycks som P (brun fläck|te) = 0,15

P(kaffe|brun fläck) = P(brun fläck|kaffe) * P(kaffe) / P(brun fläck|kaffe) * P(kaffe) + P(brun fläck|te) * P(te)

Så hur bör du uppdatera din initiala sannolikhetsbedömning (0,5) i ljuset av din evidens? Med andra ord: vad är sannolikheten att K1 är en kaffekanna givet den bruna fläcken? Då stoppar vi in våra sannolikheter i Bayes sats.

P (kaffe|brun fläck) = (0,75 * 0,5) / (0,75 * 0,5) + (0,15 * 0,5) ~ 0,83

Alltså är sannolikheten att det är kaffe vid kannan med den bruna fläcken 83%.

Publicerad tisdag, oktober 29th, 2013 i etik, filosofi, Karim Jebari.

Vad tycker du?